> restart;
# Dies ist eine (moeglichst interaktive) Übung zum Umgang mit
# Dirac-Spinoren. Passen Sie den read
# Befehl an Ihr System an.
> read `c:/win/maplev4/hep/heppack.txt`;
# Definition eines Pseudovektors über Angabe von Energie Masse,
# Polarwinkel und
# Azimuthwinkel (hier phi=0) eines Teilchens:
> pe:=[Ee,M,theta,0];
# Zunaechts berechnen
#  wir den Spinor fuer ein rechtshaendiges Teilchen:
> u(pe,1);
# Dann fuer ein rechtshaendiges Antiteilchen. Studieren  Sie durch
# Veraendern der letzten oder naechsten
# Zeile auch linkshaendige Teilchen bzw. Antiteilchen. Schauen Sie sich
# das auch mal fuer phi ungleich 0 an.
> v(pe,1);
# Oder ein adjungierter Spinor:
> vbar(pe,-1);
# Überprüfen der Normierungsbedingung:
> norm_s:=evalm(vbar(pe,1)&*v(pe,1));
> simplify(norm_s[1,1]);
> evalm(ubar(pe,-1)&*u(pe,1));
# Die anderen Kombinationen folgen wieder durch Aendern der letzten
# Zeilen. Jetzt ueberpruefen wir,
# dass die Spinoren die Diracgl. erfuellen: Dazu muss man pe zunaechst
# im Vierervektor-Format
# haben.
> p1:=fourvec(pe):
> t1:=evalm(dag(p1)&*u(pe,1));
# Das sieht kompliziert aus, aber:
> simplify(t1[1,1]);
# Oder:
> simplify(t1[2,1]);
# Man sieht, dass die Elemente des Spinors multipliziert mit M
# auftauchen, also gilt
# p-dagger U=Mu, probieren Sie die Loesung fuer Antiteilchen! Wir machen
# weiter
# mit dem Studium von gamma-Matrizen.
> evalm(g3);
# Daraus lassen sich interessante Vertauschungen bilden:
> S1:=evalm(I/2*(g2&*g3-g3&*g2));
> S2:=evalm(I/2*(g3&*g1-g1&*g3));
> S3:=evalm(I/2*(g1&*g2-g2&*g1));
# Das sieht wie eien vierdimensionale Erweiterung der Pauli-Spin
# Matrizen aus.
# In der Tat zeigen die beiden naechsten Relationen, dass es sich um
# eine vierdim. Darstellung der
# Pauli-Algebra handelt:
> evalm(S1&*S1+S2&*S2+S3&*S3);
> evalm(I/2*(S1&*S3-S3&*S1));
# S_3/2 und S^2/4 sind daher die Spinoperatoren im Ruhsystem
# (Ausprobieren!). S_3/2 ist aber
# auch der Helizitaetsoperotor fuer ein Teilchen, das entlang der
# z-Achse fliegt:
> pp:=[Ep,M,0,0];
> evalm(S3/2&*u(pp,-1));
> u(pp,-1);
> evalm(S3/2&*v(pp,1));
> v(pp,1);
# Die letzten beiden Gleichungen machen zunaechst vielleicht stutzig.
# Aber v(pp,1) ist ein Spinor
# negativer Energie mit der Helizitaet -1, das heisst ein Antiteilchen
# mit der Helizitaet +1.
# Nun probieren wir den chiralen Projektionsoperator:
#
> evalm(projpl&*u(pe,1));
> subs(M=0,%);
# Man sieht also, fuer M=0 kommen die Helizitaetszustaende raus!
# Mit der "falschen" Heleizitaet sieht's dann so aus:
> evalm(projpl&*u(pe,-1));
> subs(M=0,%);
# Man kann auch leicht ueberpruefen, dass gamma_5 ein linkshaendiges
# Teilchen in ein
# rechtshaendiges Anti-Teilchen verwandelt, etc.
> evalm(g5&*u(pe,-1));
> v(pe,1);
>