> restart;
# Dies ist eine (moeglichst interaktive) 2. Übung zum Umgang mit
# Dirac-Spinoren. Passen Sie den read
# Befehl an Ihr System an.
> read `d:/maplev3/projekte/hep/heppack.txt`;
# Definition eines Pseudovektors über Angabe von Energie Masse,
# Polarwinkel und
# Azimuthwinkel (hier phi=0) eines Teilchens:
> pe:=[Ee,M,theta,0];
# Ausserdem definieren wir einen gespiegelten Vektor:
> ps:=[Ee,M,Pi-theta,Pi];
# Durch Vergleich der naechsten beiden Paragraphen :
> u(pe,-1);
> evalm(g0&*u(ps,1));
# sehen wir, dass g0 wie der Paritaetsoperator Pu=lambda*u wirkt.
# Andererseits
> v(pe,1);
> P:=g0:
> evalm(P&*v(ps,-1));
# das heisst, Pv=-lambda*v. Die Paritaeten von Teilchen und Antiteilchen
# haben also eine relative
# Pase von -1.  
# 
# Wir wissen schon, dass  g5 aus einem rechtshaendigen Teilchen ein
# linkshaendiges
# Antiteilchen macht:
> evalm(g5&*u(pe,1));
> v(pe,-1);
# Chirale Invarianz bedeutet Invarianz eines Ausdrucks gegenueber der
# Ersetzung von
# u durch g5*u (entsprechend auch fuer v). Die Diracgl. selbt ist nicht
# chiral invariant:
> p1:=fourvec(pe):
> t1:=evalm(dag(p1)&*g5&*u(pe,1)):
> simplify(t1[1,1]);
> simplify(t1[2,1]);
> simplify(t1[3,1]);
> simplify(t1[4,1]);
> evalm(g5&*u(pe,1));
# aber die Stroeme ubar*g^mu u sind es. Hier ist allerdings der
# analytische Beweis einfacher.
# Wir machen weiter mit der Teilchen Antiteilchentransf.
> u(pe,-1);
# 
> v(pe,-1);
> C:=evalm(I*g2);
# 
> evalm(P&*u(pe,-1)+u(ps,1));
# Offenbar gilt C*u=lambda *v und C*v=-lambda*u
# Diese einfache Form von C ist allerdings nur fuer phi=0 richtig. Fuer
# phi ungleich 0
> p1:=[Ee,M,theta,phi]:
> u(p1,1);
> v(p1,1);
# Der Antiteilchen-Spinor wird also durch Anwendung von C auf u*
# gewonnen!
# Nun gewinnen wir den Helizitaetsoperator:
> evalm(S3);
> n:=richtv(theta,0);
> H:=evalm(n[1]*S1+n[2]*S2+n[3]*S3);
> t2:=evalm(H&*u(pe,-1)):
> simplify(t2[4,1]+u(pe,-1)[4,1]);
# Durch Auswertung dieser Gleichungen sieht man, dass H richtig
# konstruiert ist.
>