> restart; > read `d:/Programme/maple V Release 5/hep/heppack5.txt`; Warning, new definition for norm Warning, new definition for trace # Hier wird der Zerfall elementarer Fermionen ueber geladene Stroeme # untersucht. Das rstart Kommando ganz zu Beginn ist praktisch, # wenn man sich irgendwo verheddert hat. # Die schwachen geladenen Stroeme heissen in heppack5.txt "ubuw" etc. # Wir fangen an mit dem Zerfall des Myons. Die z-Achse des # Koordinatensystems liegt # in der Richtung des auslaufenden Elektrons. Die Masse des Elektrons # wird vernachlaessigt. > Myon:=[M,M,0,0]: > My_neutrino:=[E_numu,0,th_numu,0]: > elek:=[E,0,0,0]: > anti_neu:=[E_nue,0,th_nue,0]: > t1:=dotprod(ubuw(My_neutrino,-1,Myon,-1),ubvw(elek,-1,anti_neu,1)); t1 := 4 sqrt(E_numu) sin(1/2 th_numu) sqrt(2) sqrt(M) sqrt(E) sqrt(E_nue) sin(1/2 th_nue) > t2:=dotprod(ubuw(My_neutrino,-1,Myon,1),ubvw(elek,-1,anti_neu,1)); t2 := 4 sqrt(E_numu) sin(1/2 th_numu) sqrt(2) sqrt(M) sqrt(E) sqrt(E_nue) cos(1/2 th_nue) # Ueberzeugen Sie sich davon, dass alle anderen Amplituden verschwinden. # Nun berechnen wir die # Summe der Amplitudenquadrate (man muss natuerlich noch mit 4G_F^2) # multiplizieren). > simplify(t1*t1+t2*t2); 2 32 E_numu M E E_nue - 32 E_numu M E E_nue cos(1/2 th_numu) # Von hier aus geht's ganz einfach weiter (Vorlesung oder Buch). Wir # wenden uns jetzt dem Neutron-Zerfall # zu. Wir behandeln das Neutron als elementares Fermion. Auch hier # vereinfachen wir die Rechnung # durch Wahl des Koordinatensystems. Die z-Achse fällt mit der # Flugrichtung des Antneutrino # zusammen. Die Masse des Elektrons wird nicht vernachlaessigt. > neutron:=[Mn,Mn,0,0]: > proton:=[Mp,Mp,0,0]: > elek:=[E,me,theta,Pi]: > antineu:=[omega,0,0,0]: # Zuerst die Fermi-Übergänge: > t1:=dotprod(ubuw(proton,1,neutron,1),ubvw(elek,-1,antineu,1)); t1 := -2 sqrt(Mp) sqrt(Mn) sqrt(omega) cos(1/2 theta) sqrt(E + me) - 2 sqrt(Mp) sqrt(Mn) sqrt(omega) cos(1/2 theta) sqrt(E - me) > t2:=dotprod(ubuw(proton,1,neutron,1),ubvw(elek,1,antineu,1)); t2 := 2 sqrt(Mp) sqrt(Mn) sqrt(omega) sin(1/2 theta) sqrt(E + me) - 2 sqrt(Mp) sqrt(Mn) sqrt(omega) sin(1/2 theta) sqrt(E - me) # Alle anderen Amplituden verschwinden. > f:=simplify(t1*t1+t2*t2); 2 f := 16 Mp Mn omega cos(1/2 theta) sqrt(E + me) sqrt(E - me) + 8 Mp Mn omega E - 8 Mp Mn omega sqrt(E + me) sqrt(E - me) # Im masselosen Grenzfall wird daraus: > subs(me=0,%); 2 16 Mp Mn omega cos(1/2 theta) E # Nun die Gamow-Teller Übergänge: > t3:=dotprod(ubuw(proton,-1,neutron,1),ubvw(elek,-1,antineu,1)); t3 := 2 sqrt(Mp) sqrt(Mn) sqrt(omega) sin(1/2 theta) sqrt(E + me) + 2 sqrt(Mp) sqrt(Mn) sqrt(omega) sin(1/2 theta) sqrt(E - me) > t4:=dotprod(ubuw(proton,-1,neutron,1),ubvw(elek,1,antineu,1)); t4 := 2 sqrt(Mp) sqrt(Mn) sqrt(omega) cos(1/2 theta) sqrt(E + me) - 2 sqrt(Mp) sqrt(Mn) sqrt(omega) cos(1/2 theta) sqrt(E - me) > gt:=simplify(t3*t3+t4*t4); gt := 8 Mp Mn omega E + 8 Mp Mn omega sqrt(E + me) sqrt(E - me) 2 - 16 Mp Mn omega cos(1/2 theta) sqrt(E + me) sqrt(E - me) # Im masselosen Grenzfall wird daraus: > subs(me=0,%); 2 16 Mp Mn omega E - 16 Mp Mn omega cos(1/2 theta) E > gt+f; 16 Mp Mn omega E # Das ist das gleiche Resultat wie im masselosen Grenzfall! Die Masse # des Elektrons spielt also # nur für das Phasenraumintegral eine Rolle. Diese Integration führt zu # einer Formel # für die differentielle Zerfallsrate dGamma/dp_e wie folgt (Der # Cabibbo-Winkel wurde =0 # gesetzt, Delta ist der Massenunterschied zwischen Proton und Neutron): > dGam:=2*G_F^2/Pi^3*(Delta-sqrt(p^2+me^2))^2*p^2; 2 2 2 2 2 G_F (Delta - sqrt(p + me )) p dGam := 2 --------------------------------- 3 Pi # Das ergibt das typische beta-Zerfall-Spektrum: > plot(subs(G_F=1,me=0.511,Delta=1.3,dGam),p=0..1.19); # Durch Integration bekommt man die Lebensdauer: > Gam:=int(dGam,p=0..sqrt(Delta^2-me^2)); 2 (5/2) 2 (3/2) Gam := 1/60 G_F (24 %1 + 40 me %1 2 (3/2) - 60 Delta sqrt(%1) (Delta ) 2 2 + 30 Delta me sqrt(%1) sqrt(Delta ) + 30 4 2 Delta me ln(sqrt((Delta - me) (Delta + me)) + sqrt(Delta )) 2 (3/2) 4 2 / 3 + 40 Delta %1 - 15 Delta me ln(me )) / Pi / 2 2 %1 := Delta - me > assume(Delta > 0): > Gam_0:=simplify(subs(me=0,Gam)); 2 5 G_F Delta~ Gam_0 := 1/15 ------------ 3 Pi > evalf(subs(Delta=1.3,me=0.511,Gam)); 2 .003802490866 G_F > evalf(%/Gam_0); 1 1.768516259 ------- 5 Delta~ > subs(Delta=1.3,%); .4763128469 # Das ist also der Korrekturfaktor für endliche Elektronenmasse. # # Jetzt berechnen wir noch die Polarisation der Elektronen! # > t1*t1-t2*t2; (-2 sqrt(Mp) sqrt(Mn) sqrt(omega) cos(1/2 theta) sqrt(E + me) - 2 2 sqrt(Mp) sqrt(Mn) sqrt(omega) cos(1/2 theta) sqrt(E - me)) - ( 2 sqrt(Mp) sqrt(Mn) sqrt(omega) sin(1/2 theta) sqrt(E + me) - 2 2 sqrt(Mp) sqrt(Mn) sqrt(omega) sin(1/2 theta) sqrt(E - me)) > h1:=simplify(%); 2 h1 := 16 Mp Mn omega cos(1/2 theta) E - 8 Mp Mn omega E + 8 Mp Mn omega sqrt(E + me) sqrt(E - me) > t3*t3-t4*t4; (2 sqrt(Mp) sqrt(Mn) sqrt(omega) sin(1/2 theta) sqrt(E + me) + 2 2 sqrt(Mp) sqrt(Mn) sqrt(omega) sin(1/2 theta) sqrt(E - me)) - ( 2 sqrt(Mp) sqrt(Mn) sqrt(omega) cos(1/2 theta) sqrt(E + me) - 2 2 sqrt(Mp) sqrt(Mn) sqrt(omega) cos(1/2 theta) sqrt(E - me)) > h2:=simplify(%); 2 h2 := 8 Mp Mn omega E - 16 Mp Mn omega cos(1/2 theta) E + 8 Mp Mn omega sqrt(E + me) sqrt(E - me) > h1+h2; 16 Mp Mn omega sqrt(E + me) sqrt(E - me) > pol:=%/(gt+f); sqrt(E + me) sqrt(E - me) pol := ------------------------- E # Also ist die Polarisation durch beta gegeben. Nun noch ein paar # Gedanken zu den Stroemen: > jferm:=ubu(proton,1,neutron,1); jferm := [2 sqrt(Mp) sqrt(Mn), 0, 0, 0] > jvmina:=ubuw(proton,1,neutron,1); jvmina := [sqrt(Mp) sqrt(Mn), 0, 0, -sqrt(Mp) sqrt(Mn)] > jgt:=jvmina-jferm/2; jgt := [0, 0, 0, -sqrt(Mp) sqrt(Mn)] # Das zeigt, dass zum Uebergang (neutron,1)--> (proton,1) nur die dritte # Komponente des Axialvektorstroms beitraegt,~sigma_3 >